10th February 2024, 2 min read

Stabilität und Polynome

Original post is here eklausmeier.goip.de/blog/2024/02-10-stabilitaet-und-polynome.

1. Satz: Stabilitätskriterium von Routh/Hurwitz, nach Routh, Edward John (1831--1907), Hurwitz, Adolf (1859--1919).

Voraussetzungen: Es sei

p (z) = a_{0} z^{n} + a_{1} z^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} z + a_{n} = a_{0} (z - λ_{1}) \dots (z - λ_{n})

ein beliebiges komplexes Polynom mit Koeffizienten $a_{i} \in C$ und Nullstellen $λ_{i} \in C$ . Weiter sei

\begin{matrix} Δ_{1} = a_{1}, Δ_{2} = | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} \\ a_{0} & a_{2} \end{matrix} |, Δ_{3} = | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} & a_{5} \\ a_{0} & a_{2} & a_{4} \\ 0 & a_{1} & a_{3} \end{matrix} |, \dots, \\ Δ_{n} = | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} & \dots \\ a_{0} & a_{2} & \dots \\ a_{1} & a_{3} & \dots \\ a_{0} & a_{2} & \dots \\ a_{1} & a_{3} & \dots \\ a_{0} & a_{2} & \dots \\ ⋱ & ⋱ \\ 0 & a_{1} & a_{3} & \dots \\ a_{0} & a_{3} & \dots \end{matrix} |, \end{matrix}

mit der Vereinbarung $a_{n + 1} = a_{n + 2} = \dots = 0$ .

Behauptung: $Re λ_{i} < 0$ genau dann, wenn

a_{0} Δ_{1} > 0, Δ_{2} > 0, a_{0} Δ_{3} > 0, Δ_{4} > 0, \dots, {\begin{cases} a_{n} Δ_{n} > 0, & n gerade, \\ Δ_{n} > 0, & n ungerade. \end{cases}

Für $a_{0} > 0$ also $Δ_{i} > 0$ , $i = 1, \dots, n$ .

Beweis: Siehe das Buch von Gantmacher, Felix Ruvimovich (1908--1964), Gantmacher (1986), §16.6, "Matrizentheorie", Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York Tokyo, Übersetzung aus dem Russischen von Helmut Boseck, Dietmar Soyka und Klaus Stengert, 1986, 654 S. ☐

Der obige Satz ist ein Spezialfall des allgemeinen Satzes von Routh/Hurwitz, der es erlaubt die genaue Anzahl der Nullstellen mit echt negativen Realteil genau anzugeben. Der folgende Satz von Liénard/Chipart aus dem Jahre 1914 hat gegenüber dem Stabilitäskriterium von Routh/Hurwitz den Vorteil, nur etwa halb so viele Minoren auf ihr Vorzeichen zu untersuchen.

2. Satz: Stabilitätskriterium von Liénard/Chipart nach Chipart, A.H., Liénard, Alfred-Marie (1869--1958).

Behauptung: $Re λ_{i} < 0$ ist äquivalent zu einer der folgenden 4 Aussagen:

(1) $a_{n} > 0$ , $a_{n - 2} > 0$ , $\dots$ ; $Δ_{1} > 0$ , $Δ_{3} > 0$ , $\dots$ ,

(2) $a_{n} > 0$ , $a_{n - 2} > 0$ , $\dots$ ; $Δ_{2} > 0$ , $Δ_{4} > 0$ , $\dots$ ,

(3) $a_{n} > 0$ , $a_{n - 1} > 0$ , $a_{n - 3} > 0$ , $\dots$ ; $Δ_{1} > 0$ , $Δ_{3} > 0$ , $\dots$ ,

(4) $a_{n} > 0$ , $a_{n - 1} > 0$ , $a_{n - 3} > 0$ , $\dots$ ; $Δ_{2} > 0$ , $Δ_{4} > 0$ , $\dots .$

Beweis: Siehe erneut Gantmacher (1986), §16.13. ☐

Für die Überprüfung eines vorgelegten Polynoms wählt man dann zweckmässigerweise von den vier Bedingungen diejenige, sodaß $Δ_{n - 1}$ oder $Δ_{n}$ die geringere Zeilenzahl hat.