9th February 2024, 1 min read

Die Formel von Faà di Bruno

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Die Formel von Faà di Bruno, Faà di Bruno, Francesco (1825--1888), verallgemeinert die Kettenregel auf die Form für beliebig hohe Ableitungen.

1. Satz: Formel von Faà di Bruno Es hänge $w$ von $u$ ab, $u$ ist hierbei Funktion von $x$ . Es sei $D_{x}^{k} u$ die $k$ -te Ableitung von $u$ nach $x$ . Dann gilt

D_{x}^{n} w = \sum_{j = 0}^{n} \sum_{\binom{k_{1} + k_{2} + \dots + k_{n} = j}{\binom{k_{1} + 2 k_{2} + \dots + n k_{n} = n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n} \geq 0}}} \frac{n! D_{u}^{j} w}{k_{1}! (1!)^{k_{1}} \dots k_{n}! (n!)^{k_{n}}} (D_{x}^{1} u)^{k_{1}} \dots D_{x}^{n} u)^{k_{n}} .

Beweis: Siehe Knuth, Donald Ervin (*1938), The Art of Computer Programming, Volume 1 -- Fundamental Algorithms, Addison-Wesley Publishing Company, Reading (Massachusetts) Menlo Park (California) London Sydney Manila, 1972, second printing, xxi+634 S. Siehe McEliece im o.a. Buch von Knuth, McEliece, Robert James. Bezeichnet $c (n, j, k_{1}, k_{2}, \dots)$ den Bruchterm, so rechnet man durch Differenzieren

\begin{aligned} c (n + 1, j, k_{1}, \dots) = & c (n, j - 1, k_{2}, \dots) \\ + (k_{1} + 1) c (n, j, k_{1} + 1, k_{2} - 1, k_{3}, \dots) \\ + (k_{2} + 1) c (n, j, k_{1}, k_{2} + 1, k_{3} - 1, k_{4}, \dots) + \dots . \end{aligned}

Hierbei ist es von Vorteil unendlich viele $k_{i}$ anzunehmen, obwohl $k_{n + 1} = k_{n + 2} = \dots = 0$ . Im Induktionsschritt sind $k_{1} + \dots + k_{n} = j$ und $k_{1} + 2 k_{2} + \dots + n k_{n} = n$ Invarianten. Man kann nun $n! / k_{1}! (1!)^{k_{1}} k_{2}! (2!)^{k_{2}} \dots$ kürzen und gelangt dann zu $k_{1} + 2 k_{2} + \dots = n + 1$ . Man vgl. auch Bourbaki und Schwartz. ☐